IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası - Mükemmel Sayı - Mükemmel Sayı nedir? Mükemmel Sayı hakkında

Mükemmel Sayı : 6[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 28[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 496 gibi kendisi hariç bütün pozitif çarpanları toplamı kendisine eşit olan sayılara denir. Mükemmel sayılar sonsuz tane olduğu düşünülür. Genel formülleri henüz bulunamamıştır. Ancak 2n(2n+1-1)[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] sayısının her n çift sayısı ve 1 için mükemmel sayı olduğu görülebilir. Tabi buradan mükemmel sayıların çift sayı oldukları anlamı çıkmamaktadır. Yani bu formülün tüm mükemmel sayıların ortak formülü olup olmadığı bilinmemektedir. Ancak şu ana kadar bir tane tek mükemmel sayı bulunamamıştır...

İlk 11 mükemmel sayı :

6[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
28[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
496[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
8128[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
33550336[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
8589869056[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
137438691328
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]2305843008139952128[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
2658455991569831744654692615953842176[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
19156194260823610729479337808430363813099732154816 9216

İstediğimiz kadar sayıyı 2'ye katlayarak toplayalım. Toplam asal sayı olduğunda[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] bu asal sayıyı son sayıyla çarpalım[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] çıkan sayı mükemmel sayıdır.
Söyleneni örneklerle gösterelim:1+2=3; 3 asal sayı; 3x2=6.; 6 mükemmel sayı. Ya da 1+2+4=7; 7 asal sayı; 7x4=28 mükemmel sayı. Veya 1+2+4+8¤¤¤¤=31 asal sayı; 31x16=496 mükemmel sayı.
Genel kural olarak; Eğer herhangi bir k>1 için 1+2+4+...+2k-1 =2k-1 asal ise; o zaman 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır. MS 100 civarında[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Nicomachus diğer şeylerin yanında[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ispat gereği duymadan[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] mükemmel sayılarla ilgili şu özellikleri sıralıyor:
1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır.(1. Sayı 6[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 2. sayı 28[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 3.sayı 496[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 2- Bütün mükemmel sayılar çifttir(sizin iddianız bu özelliği yok ediyor) 3- Bütün mükemmel sayılar[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır.
Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 211-1 sayısının asal olmadığını(23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 212(213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. Nicomuchos'un iddialarından 1.[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 3.[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 4. zamanla çürütüldüler. 6. sayı 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı.. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi(1603) idi: 216(217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218(2191)=137438691328. Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir. Günümüze kadar 44 adet mükemmel sayı(hepsi çift[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] hepsi 6 veya 8 ile bitiyor-ama sırayla değil) bulunmuştur. 44. mükemmel sayının 19 milyondan fazla basamağı vardır. Mükemmel sayıların tarihi kısaca böyle. 45.cı mükemmel ve ilk tek için sayınızı bekliyoruz. Bu arada söylemeden geçmeyelim; Batı'da mükemmel sayılara gösterilen tutkunun gerisinde ilk sayı olan 6'nın tanrının dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Ay ayının 2. sayı kadar[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] yani 28 gün olması da var.

İlk 4 mükemmel sayı için şu ilişkiler geçerlidir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]