IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Geometride tetrahedron veya dörtyüzlü, dört üçgen yüzden oluşan bir çokyüzlüdür (polihedron), her köşesinde üç üçgen birleşir. Düzgün dörtyüzlü dört üçgenin eşkenar olduğu bir dörtyüzlüdür ve Platonik cisimlerden biridir. Dörtyüzlü, dört yüzü olan tek konveks çokyüzlüdür.[1] Tetrahedron isminin sıfat hali (tetrahedrona ait veya tetrahedronla ilişkili anlamında) "tetrahedral"dir.

Dörtyüzlü, simpleks kavramının üç boyutlu hâlidir.

Dörtyüzlü, bir cins piramittir. Piramit, çokgen bir tabanı tek bir noktada birleştiren üçgen yüzlerden oluşur. Dörtyüzlü durumunda taban bir üçgendir (dört yüzün herhangi biri taban sayılabilir), dolayısıyla dörtyüzlü ayrıca üçgen piramit olarak da bilinir.

Tüm dışbükey (konveks) çokgenler gibi, dörtyüzlü de tek bir kağıt yaprağın katlanması ile meydana gelebilir. İki ağdan oluşur.[1]

Her bir dörtyüzlü için öyle bir küre (çevrel küre) vardır ki dörtyüzlünün köşeleri bu kürenin yüzeyinde yer alırlar.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Düzgün dörtyüzlüler için formüller

Kenar uzunluğu a olan bir düzgün dörtyüzlü için:

Taban yüzeyin yüzölçümü [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] yüzölçüm [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Yükseklik [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Hacim [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bir kenar ile bir yüz arasıdaki açı [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
(yaklaşık 54.7356°) İki yüz arasındaki açı [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
(yaklaşık 70.5288°) Merkezi köşelere birleştiren doğrular arasındaki açı [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
(yaklaşık 109.4712°) Karşısında bir yüz olan bir köşedeki katı açı [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
(yaklaşık 0.55129 steradian) Çevrel kürenin yarıçapı [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Yüzlere teğet olan içkürenin yarıçapı[2] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Kenarlara teğet olan ortakürenin yarıçapı[2] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Dışkürelerin yarıçapları [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bir köşeden dışküre merkezine uzaklık [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Taban yüze göre bir yüzün eğimi, bir kenarın eğiminin iki katıdır, çünkü taban üzerinde, bir kenar boyunca köşeye olan yatay uzaklık, bir yüzün kenarortayından o köşeye olan uzaklığın iki katıdır. Bir diğer deyişle, eğer C, tabanın ağırlık merkezi (ortacı) ise, C'den tabanın köşelerinden birine olan uzaklık, C'den taban kenarlarından birinin orta noktasına olan uzaklığın iki katıdır. Bunun nedeni, kenarortayların birbirini kütle merkezinde kesmeleri ve bu noktanın her bir kenarortayı uzunlukları 1:2 oranlı olan iki parçaya bölmesidir.

Hacim

Dörtyüzlünün hacmi, piramit hacim formülüdür:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

burada A0 tabanın alanı ve h tabandan tepeye olan yüksekliktir. Bu formül her yüz için geçerlidir, dolayısıyla köşelerden karşı yüzlere olan uzaklık, o yüzün alanı ile ters orantılıdır.

Aşağıdaki köşelere sahip bir dörtyüzlü için a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3), ve d = (d1, d2, d3), hacim (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|. Birbirleriyle basit bir çizge oluşturan köşe çiftlerinin herhangi bir diğer kombinasyonu ile de hacmi veren bir formül oluşturulabilir. Bu formül, nokta çarpım ve çapraz çarpım kullanılarak da yazılabilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Eğer koordinat sisteminin orijini d köşesine rastlayacak şekilde seçilirse, d = 0 olur, dolayısıyla

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

burada a, b ve c bir köşede kesişen üç kenara karşılık gelir ve [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] bir üçlü skaler çarpımdır. Bu formülü bir paralelyüzün hacmi ile karşılıştırınca bir dörtyüzlünün hacminin, onunla üç kesişen yüz paylaşan bir paralelyüzün hacminin 1/6'sı olduğu sonucuna varabiliriz.
Üçlü skaler çarpım aşağıdaki determinantla gösterilebilir:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] veya [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] burada [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] satır veya sütun vektör olarak gösterilebilir Dolayısıyla [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] burada [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] vb. bunun sonucu

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

burada \alpha,\beta,\gamma\,, d köşesinde oluşan düzlemsel açılardır. \alpha\, açısı, d köşesini b ve c köşelerine bağlayan kenarlar arasındaki açıdır. \beta\, açısı a ve c köşeleri için aynı şeyi yapar, \gamma\, de a ve b köşelerinin konumları ile tanımlanmıştır. Dörtyüzlünün köşeleri arasındaki uzaklıklar kullanılarak hacim hesaplamak için Cayley–Menger determinantı kullanılır:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

burada [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] indisleri [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] köşelerini temsil eder ve [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] bunlar arasındaki ikili uzaklıklardır, yani iki köşeyi birleştiren kenarın uzunluğu. Determinantın negatif değerli olması, verilen uzunluklara sahip bir dörtyüzlünün olamayacağı anlamına gelir. Bu formül, bazen Tartaglia formülü olarak da bilinir, 15. yüzyılda yaşamış ressam Piero della Francesca'dan kaynaklanır. Bir üçgenin alanını hesaplamakta kullanılan, 1. yüzyılda keşfedilmiş Heron formülü'nün üç boyuttaki karşılığıdır.

Kenarlar arasındaki uzaklık

Dörtyüzlünün iki karşı kenarı, iki aykırı doğru üzerinde yer alırlar (aykırı doğrular birbirlerine ne paralel ne de birbirini kesen doğrulardır). Bu iki doğru arasındaki en yakın noktalar kenarlara ait noktalarsa bu noktalar kenarlar arasındaki en yakın uzaklığı tanımlar; aksi halde, kenarlar arasındaki uzaklık, uç noktalar ve karşı kenar arasındaki uzaklıklardan en kısa olanıdır. a ve b-c karşı kenarlarının oluşturduğu aykırı doğrular arasındaki uzaklık d olsun.[5] Bu durumda hacim için bir diğer formül şöyledir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Geometrik ilişkiler

Dörtyüzlü bir 3-simpleks'tir. Diğer Platonik cisimlerden farklı olarak, bir düzgün dörtyüzlünün tüm köşeleri birbirinden eşit uzaklıktadır. Köşeler, üç boyutlu uzayda dört noktanın birbirine eşit uzaklıkta olabileceği tek konumdadır.

Dörtyüzlü, üçgensel bir piramittir. Düzgün dörtyüzlü öz-çifteştir (İng. self-dual).

Düzgün bir dörtyüzlü bir küpün içine iki farklı şekilde yerleştirilebilir, her köşe küpün bir köşesi ve her kenar küpün yüzlerinden birinin çaprazı olacak şekilde. Bu yerleştirmelerden biri için, köşelerin koordinatları şöyledir:

(+1, +1, +1);
(−1, −1, +1);
(−1, +1, −1);
(+1, −1, −1).

Meydana gelen bu dörtyüzlünün orijin merkezli olup kenar uzunluğu 2√2'dir. Öbür dörtyüzlü (birincisinin öz-çifteşidir) için tüm işaretlerin tersini alın. Bu iki dörtyüzlünün köşeleri birlikte küpün köşelerini meydana getirirler. Böylece bir düzgün dörtyüzlünün bir 3-yarıküpü (3-demicube) olduğu gösterilmiş olur.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]