Z Dönüşümü
 

Z dönüşümü, matematikte ve işaret işlemede bir dönüşüm. Zaman tanım kümesinde gerçel ve sanal bileşenleri olan herhangi bir ayrık işareti, frekans tanım kümesindeki biçimine dönüştürür.

Tanım

Dönüşüm şu şekildedir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Yukarıdaki bağıntıda, n'ler tamsayı ve küçük z'ler karmaşık sayıdır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Bu ikinci bağıntıya göre ise A, z'nin genliği, φ de fazı ya da argümanı olarak tanımlanır. Faz, radyan'la ölçülür.

Fourier dönüşümü ile ilişkisi


Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)'in genelleştirilmesi olan z-dönüşümünün Fourier dönüşümü ile yakından ilgisi vardır.[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]gibi düşünülürse (DTFT) elde edilmektedir. Bunun sebebi şöyle açıklanmaktadır: z bir kompleks sayıdır ve kutupsal formda olarak [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]gösterilmektedir. Eğer A = 1 ise z dönüşümü Fourier dönüşümü olmaktadır ama yarıçap 1'den farklı ise o zaman z dönüşümü olarak kalmaktadır.
ROC, z Dönüşümünün en önemli kavramıdır. ROC (region of convergence-yakınsama bölgesi) bir sinyalin z-dönüşümünün sonsuz olmayan bir sayıya yakınsadığı değerlerinin z-düzlemi üzerinde gösterildiği alandır. ROC sistem hakkında bir çok bilgi almamızı sağlar. Çizimi ise aşağıdaki özelliklere bakılarak yapılır.
ROC bir halka ya da bir disktir ve merkezi orjindedir. H(z)'de z yerine koyulunca Fourier dönüşümüne [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]yakınsayabilmesi için ROC'un birim çemberi içermesi gerekir. Bu aynı zamanda sistemin kararlılık kriteridir. ROC kutup içeremez.
x[n] sınırlı dizi ise ROC bütün z-düzlemidir. Belki 0'ı ya da sonsuzu içermeyebilir.
Nedensel sistemlerde, x[n] sağa yaslıdır ve ROC en dıştaki kutbun dışına doğru olur. Nedensel olmayan sistemlerde, x[n] sola yaslı ve ROC en içteki kutbun içine doğru olur. x[n] hem nedensel hem de anti-nedensel terimler içeriyorsa, ROC en dıştaki kutuptan içeri en içteki kutuptan dışarı doğru olan bir halkadır.
Sistemin hem nedensel hem de kararlı olması durumunda, bütün kutuplar birim çemberin içinde olmalıdır. Çünkü eğer bir kutup bile birim çemberin dışında olsa, nedensel sistem özelliğinden dolayı ROC en sağdaki kutbun dışına doğru olur ve birim çemberi içeremez, bu durumda sistemin kararlılık kriteri de karşılanamaz.
ROC bağlantılı olmak zorundadır.


Bazı Z-dönüşümü çiftleri

Aşağıdaki tabloda bazı sistemlerin z dönüşümleri verilmiştir.
Dirac delta fonksiyonu ve Heaviside birim basamak fonksiyonu aşağıdakigibi tanımlanı:
-[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
-[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

İlk değer teoremi
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...], Eğer [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] nedensel ise.

Son değer teoremi
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] , Sadece kutuplar [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] birim çemberin içindeyse.