IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Matematikte, Knuth yukarı ok gösterimin çok büyük tam sayıların gösteriminin yöntemidir. 1976'da Donald Knuth tarafından geliştirild. Ackermann işlevi ve özel hiperişlem serisi ile oldukça bağlantılıdır. Çarpmanın, tekrarlı hiperişlem olarak tekrarlı toplama ve üs alma gibi görülebilmesi fikrine dayanır. Bu durumu devam ettirme tekrarlı üssü (tetrasyonu) ve çoğunlukla Knuth ok gösterimi kullanılarak ifade edilen aşırı seri üretiminin geri kalanını meydana getirir.
TanıtIım

Toplama, çarpma, üs alma gibi sıradan aritmetiksel işlemler, hiperişlem serisinde doğal olarak şöyle ifade edilir.
Bir doğal sayıyı çarpma, tekrarlı toplama olarak şöyle ifade edilebilir:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Örneğin,
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]b'nin doğal kuvveti, tekrarlı çarpma olarak ifade edilebilir ki, Knuth onu tek bir yukarı ok ile ifade etti.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Örneğin,
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]İşlemlerin serisini üslü gösterimden daha gazla genişleterek, tekrarlı üsleri (tetrasyonu) ifade etmek için Knuth, bir “çift ok” işleci (operatörü) tanımladı, şöyle ki:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Örneğin,
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Burada ve aşağıdaki değerlendirmede, Knuth ok işleçlerini soldan sağa doğru yerleştirme (üslü sayılarda olduğu gibi), işleçleri birleştirme olarak tanımlanır.
Bu açıklamadan,
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]etc.Bu zaten epeyce büyük bazı sayıları ifade eder. Fakat Knuth bunu gösterimle (notasyon) yaptı. Şimdi de “iki ok” işleçli (pentasyon olarak ta bilinir) tekrarlı uygulamalar için “üç ok” işlecini tanıyalım:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]ardından 'dört ok' işleci:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]ve böyle devam eder. Genel kural, bir n ok işleci, (n − 1) ok işleç serisinin sağına doğru yayılarak gider. Sembolik olarak,
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Örnekler:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] gösterimi, n tane ok kullanarak [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde ifade etmek yaygın bir şekilde kullanılır.
Gösterim

ab gibi bir ifadede, üs olan b'yi taban sayısı olan a'nın üstindisi olarak yazmak, üstel gösterim olarak bilinir>. Fakat programlama dilleri ve e-posta — gibi birçok ortam — iki boyut düzeni desteklemez. Bu tür ortamlar için insanlar [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde lineer gösterim geliştirdi. Yukarı ok kuvvetin artışıdır. Eğer karakter yukarı ok içermezse, onun yerine ^ düzeltme işareti kullanılır.
ab şeklindeki üstindis gösterimi, genelleştirme için kendini iyi ifade etmez. Bundan dolayıdır ki Knuth, çizgisel gösterim olan [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde bir gösterim üretti.
Yukarı ok gösterimini kuvvet terimleriyle yazma [değiştir]

Bilinen üslü gösterimi kullanarak [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] yazmaya kalkışmak üslü kule oluşturur.
Örneğin: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Eğer b bir değişken (veya çok büyük sayı) ise üslü kule, şu örnekte olduğu gibi, noktalar kullanarak yazılır ve kulenin yüksekliğini belirtilir:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Bu gösterime devam edersek, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi, üslü kule yığınları ile yazılabilir. Herbirinin açıklaması, bir diğerinin üzerine yazılır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Tekrar eğer b bir değişken veya çok büyük sayı ise, yığın, nokta kullanılarak ve onun yüksekliğini belirtilerek yazılır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Daha da arttırırsak, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi, üslü kule yığınlarından oluşan birkaç sütun olarak yazılır. Herbir sütun, yığındaki üslü kulenin sayısını açıklar:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Daha genel bir ifadeyle:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Bu, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]'yi herhangi bir a, n ve bnin tekrarlı üssünün tekrarlı üssü olarak ifade eder.
Tetrasyonu kullanma

ba şeklindeki tetrasyon gösterimi, bu diyagramları daha basit yapmamızı sağlarken diğer yandan geometriksel ifadede çalışabiliriz (bu tetrasyon kuleleri olarak adlandırılır).
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Son olarak dordüncü Ackermann sayısı [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şöyle ifade edilebilir:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Genelleştirmeler

Çok büyük sayılarda Knuth yukarı ok gösteriminin çarpım okları elverişsiz kalır. Bunun yerine n ok işleci olan [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...], (ve okların değişken sayısını açıklamak için) veya eşdeğeri olan hiperişlemler kullanılır.
Bazı sayılar öyle büyüktür ki gösterimler bile onları ifade etmekte aciz kalır. Graham sayısını buna örnek gösterebiliriz. Bunlar için Conway dizisi ok gösterimi kullanılabilir. Üç elemanlı bir dizi, diğer gösterimlerle eşdeğerdir. Fakat dört veya daha fazla elemanlı diziler daha kuvvetlidir.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Küçük sayılar için Knuth ok gösterimi, büyükleri için de Conway dizisi veya hiperişlemlerin kullanılması tavsiye edilir.
Açıklama

a,b,n tam sayı ve [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olması şartıyla, yukarı ok gösterimi normalde şöyle tanımlanır:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]Tüm yukarı ok işleçleri ([Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklindeki normal üstel gösterim de dahil), sağa birleşmedir. Örneğin, iki veya daha fazla işleci içeren ifadede işlem sağdan sola doğru yapılır. Örneğin; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...], örneğin
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] burada, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] iken diğer tarafta: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
Görüldüğü gibi işlemleri sağdan sola doğru yapmanın geçerli bir nedeni vardır. Eğer soldan sağa doğru işlem yapsaydık, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şöyle olurdu; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]. Böylece [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] gerekli yeni bir işlem olmazdı.

Değerler tabloları

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]'i hesaplama, sonsuz bir tablodaki terimleri yeniden belirleyebiliriz. 2n sayılarını en üst satıra koyduk (1, 2, 4, 8, 16,... şeklinde devam eden satır). Tablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] = hiper (aşırı)(2, m + 2, n) = 2 → n → m değerleri m\n 1 2 3 4 5 6 formül 1 2 4 8 16 32 64 2n 2 2 4 16 65536 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 3 2 4 65536 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 4 2 4 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Yukarıdaki tablo Ackermann işlevi ile hemen hemen aynıdır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]'ni hesaplama:
3n sayılarını en üst satıra koyduk. ablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] = hiper(3, m + 2, n) = 3 → n → m değerleri m\n 1 2 3 4 5 formül 1 3 9 27 81 243 3n 2 3 27 7.625.597.484.987 37.625.597.484.987 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 3 3 7.625.597.484.987 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 4 3 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]'yi hesaplama;
10n sayılarını en üst satıra koyduk. Tablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] = hiper(10, m + 2, n) = 10 → n → m değerleri m\n 1 2 3 4 5 formula 1 10 100 1,000 10,000 100,000 10n 2 10 10,000,000,000 1010,000,000,000 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 3 10 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 4 10 [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] 2 ≤ n ≤ 9 için [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] sayılarının sayısal sırası m nin en belirgin sayı olduğu sözlüksel sıralamadır. Böylece bu 8 sütunluk sayılar için, sayısal sıralama basit satırdan satıradır. 97 sütunluk sayılar için aynı uygulama 3 ≤ n ≤ 99'dir ve ve eğer m = 1 'den başlarsak 3 ≤ n ≤ 9.999.999.999 olur
Hiperişlem dizisindeki sayısal sistemler

Knuth oklarından farklı olan Goodstein [1947] gösterim sisteminde hiperişlem dizisini kullandı. Bu gösterimde, negatif olmayan tam sayılar sistemini oluşturmak için [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] kullandı. [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] gibi üstindisleri, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] gibi süper işleçlerle ilişkilendirdi. Bunu n tamsayısının kesin kalıtsal temsili olarak adlandırdı. k seviyesi ve b tabanı, sadece k hiperişlemleri ve sadece 0, 1, ..., b-1 dijitlerini kullanarak ifade edilebilir: