IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Matematikte Dirichlet serisi
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] biçimindeki herhangi bir seriyi ifade etmektedir.
Burada s ve an (n = 1, 2, 3, …) karmaşık sayılardır. Bu ifade genel Dirichlet serisinin özel bir durumudur.
Dirichlet serileri çözümlemeli sayı kuramında önemli bir yere sahiptir. Riemann zeta işlevinin en ünlü tanımı Dirichlet L-işlevlerinde olduğu gibi Dirichlet serilerine gerek duymaktadır. Seri, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet'ye adanmıştır.
Örnekler

En ünlü Dirichlet serisi
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Riemann zeta işlevidir. Bir diğeri
biçiminde ifade edilen seridir. Burada μ(n) Möbius işlevini belirtmektedir. Bunlar ve aşağıda sıralanan serilerin büyük bir bölümü bilinen serilere Möbius evirtimi ve Dirichlet katlaması uygulanarak elde edilebilmektedir. Örneğin, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] bir Dirichlet karakteri olmak koşuluyla
ifadesine ulaşılır. Burada L(χ,s) bir Dirichlet L-işlevini göstermektedir.
Diğer özdeşlikler ise şunlardır:
φ(n) totient olmak koşuluyla
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ve
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Burada σa(n) bölen işlevi göstermektedir. Bu işlevi içeren diğer özdeşlikler
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olarak yazılabilir.
Zeta işlevinin logaritması
biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade Re(s) > 1 için geçerlidir. von Mangoldt işlevini göstermektedir. Buradan logaritmik türev
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olarak hesaplanır.
Liouville işlevi ([Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]) kullanılarak
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesine ulaşılır.
Ramanujan toplamı da benzer bir örnek sunmaktadır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Dirichlet serisinin analitik özellikleri: Yakınsaklık yatay ekseni

Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı {an}n ∈ N işlevi için
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi karmaşık değişken s'nin bir işlevi olarak tanımlanabilmektedir.
{an}n ∈ N bir sınırlı seriyse buna karşılık gelen f Dirichlet serisi s'nin yarı açık düzleminde mutlak yakınsar (Re(s) > 1 olmak koşuluyla). Genel olarak, an = O(nk) eşitliği sağlanıyorsa seri Re(s) > k + 1 yarı düzleminde mutlak yakınsar.
an + an + 1 + ... + an + k toplamlar kümesi n'de sınırlı ve k ≥ 0 ise yukarıdaki sonsuz seri Re(s) > 0 koşulunu sağlayacak biçimde yakınsar.
Her iki durumda da f, yarı açık düzlemde tanımlı bir analitik işlevdir.

Bir Dirichlet serisinin yakınsaklık yatay ekseni karmaşık düzlemdeki dik doğrunun gerçel ekseni kestiği nokta olarak tanımlanmaktadır. Böylece, bu noktanın sağında kalan bölge yakınsaklığı, solunda kalan bölge ıraksaklığı simgeler. Bu, üs serisindeki yakınsaklık yarıçapına benzer bir kavramdır.

Türevleri

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi geçerlidir. Bir ƒ(n) tümüyle çarpımsal işlevi tanımlanabiliyor ve seri Re(s) > σ0 için yakınsıyorsa
ifadesi Re(s) > σ0 için yakınsar. Burada von Mangoldt işlevini
Çarpımları göstermektedir.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olduğu varsayılsın.
F(s) ve G(s), s > a ve s > b için mutlak yakınsak ise
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesine ulaşılır.
a = b ve ƒ(n) = g(n) eşitlikleri sağlanıyorsa
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] sonucu elde edilir.
İntegral dönüşümleri [değiştir]

Dirichlet serisinin Mellin dönüşümü Perron formülüyle hesaplanabilmektedir.