IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Zeta sabiti

Matematikte zeta sabiti bir tamsayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tamsayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir.

0 ve 1'de Riemann zeta fonksiyonu

Sıfırda
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] eşitliği geçerlidir. 1 noktasında bir kutup bulunur.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Pozitif tamsayılar

Pozitif çift tamsayılar

Pozitif çift tamsayılar kümesi Euler tarafından bulunan ve Bernoulli sayılarıyla ilintilendirilen şu özdeşliği içerir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] koşulunu sağlayan birkaç değer aşağıda verilmiştir.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]; Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak da bilinir.[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]; Fizikteki Stefan–Boltzmann yasası ve Wien yaklaştırması.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Pozitif çift tamsayılardaki zeta ile Bernoulli sayıları arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Burada An ve Bn tüm çift n değerlerine karşılık gelen tamsayılardır. Bu değerlerin bir bölümü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Katsayılar

2n A B 2 6 1 4 90 1 6 945 1 8 9450 1 10 93555 1 12 638512875 691 14 18243225 2 16 325641566250 3617 18 38979295480125 43867 20 1531329465290625 174611 22 13447856940643125 155366 24 201919571963756521875 236364091 26 11094481976030578125 1315862 28 564653660170076273671875 6785560294 30 5660878804669082674070015625 6892673020804 32 62490220571022341207266406250 7709321041217 34 12130454581433748587292890625 151628697551
ηn'nin yukarıda gösterildiği gibi B / A katsayısı olması durumunda

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] eşitliği sağlanır ve özyinelemeli çözümle
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesine ulaşılır.
Bu özyinelemeli ilişki Bernoulli sayılarından da bulunabilir.
Çift sayılarda geçerli olan dizi 0 noktası yakınında kotanjant fonksiyonunun Laurent açılımı yardımıyla da elde edilebilir.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Pozitif tek tamsayılar

İlk birkaç tek doğal sayı için
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]; Harmonik seri.[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]; Apéry sabiti[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] eşitlikleri sağlanır.
ζ(3) (Apéry teoremi) ve ζ(2n+1) (n ∈ N) kümesinin sonsuz çoklukta elemanının irrasyonel olduğu bilinmektedir. Riemann zeta fonksiyonunun da pozitif tek sayılar kümesinin kimi alt kümeleri için irrasyonel elemanlara sahip olduğu gözlenmiştir. Örneğin; ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olduğu kesindir.

Bir bölümü aşağıda verilen özdeşliklerin çoğu Simon Plouffe tarafından bulunmuştur. Bu özdeşliklerin kaydadeğer yanı çok hızlı yakınsamaları ve üç basamağa varan kesinlik oranına ulaşmalarıdır.
ζ(5)

Plouffe
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ve
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] özdeşliklerini bulmuştur.
ζ(7)

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Toplam, Lambert serisi biçiminde verilmiştir.
ζ(2n+1)

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde tanımlanan büyüklükler
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] biçiminde ilişki dizileri verir. Burada An,Bn,Cn ve Dn pozitif tamsayılardır. Plouffe aşağıdaki değerleri de bulmuştur.
Katsayılar n A B C D 3 180 7 360 0 5 1470 5 3024 84 7 56700 19 113400 0 9 18523890 625 37122624 74844 11 425675250 1453 851350500 0 13 257432175 89 514926720 62370 15 390769879500 13687 781539759000 0 17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100 19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0 21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750

Bu sabitler Bernoulli sayıları toplamı biçiminde de yazılabilir.
Negatif tamsayılar

Negatif tamsayılar için
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] eşitliği sağlanır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] için
"açık sıfırlar" olarak adlandırılan değerlere negatif çift tamsayılarda rastlanır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Negatif tek tamsayıların ilk birkaç değeri aşağıda verilmiştir.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bu sayılar Bernoulli sayılarına benzer biçimde çok büyük negatif tek tamsayı değerleri için küçük değerlere sahip değillerdir. Bu değerlerin ilki için 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesine bakılabilir.
Türevleri

Zeta fonksiyonunun negatif çift tamsayılardaki türevi aşağıdaki gibidir.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bu türevin ilk birkaç değeri şu şekildedir:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Aşağıdaki eşitlikler de sağlanır.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Burada A Glaisher-Kinkelin sabitine karşılık gelmektedir.
Zeta Sabitleri Toplamı

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]