IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tamsayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olur.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Yığmalı dağılım fonksiyonu

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Karakteristikler

Bir rassal değişken olan Xin θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi α = k ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi β = 1 / θ kullanılarak şöyle elde edilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Eger α bir pozitif tamsayı ise, o halde

Γ(α) = (α − 1)!

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Özellikler

Toplama

Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken Xiin dağılımı bir Γ(αi, β) olursa; o halde

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Ancak bütün Γ(αi, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

Ölçekleme

Herhangi bir t için tX bir Γ(k, tθ) dağılımı goösterir; bu ifade θnın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

Üstel ailesi

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri k − 1 ve − 1 / θ; ve doğal istatistikleri X ve ln(X) olur.

Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

burada ψ(k) bir digama fonksiyonu olur.

Kullback–Leibler ayrılımı

'Gerçek' dağılım olan Γ(α0, β0) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Laplace dönüşümü

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Parametre tahmini

Maksimum olabilirlilik tahmini

Birbirlerinden bagimsiz ve ayni dagilim gosteren N sayida gozlem , , [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...], icin olabilirlik fonksiyonu sudur:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu turetilebiliriz:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bunun θ'ya gore maksimim degerini bulmak icin bu log-olabilirlilik fonksiyonunun birinci turevini alip sifira esitlersek, θ parametresi icin maksimum-olabilirlilik kestirimini buluruz:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

BUnu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bunu k'ye gore maksimumunu bulmak icin birinci turevini aliriz ve bunu sifira esitleriz. Sonus sudur:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Burada

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

olup bir digamam fonksiyonudur.

k icin kapali-sekilli bir cozum bulunmamaktadir. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranis gosterir ve bunun icin bir numerik cozum istenirse, ornegin numerik Newton Yontemi, sonuclar yeterli dakik olur. Bu numerik cozumler icin ilk deger ya "momentler metodu" kullanilarak bulunur ya da su yaklasim kullanilabilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Eger su ifadeyi kullanirsak

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

k yaklasik su degerdedir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bu genellikle gercek degerden +/- %1,5 hatali olabilecegi bulunmustur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yontemi icin iyilestirilmesi Choi ve Wette (1969) soyle verilmistir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

burada [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] trigamma fonksiyonunu (yani digamma fonksiyonunun birinci turevini) ifade eder.

Digamma ve trigamma fonksiyonlarini cok dakiklikle hesaplamak guc olabilir. Fakat, su verilen yaklasim formulleri kullanarak birkaca onemli ondalikli sayiya kadar iyi yaklasim sayilarai bulmak imkani vardir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

ve

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Ayrintilar icin bakiniz Choi ve Wette (1969).

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Bilinen degerde k ve bilinmeyen degerde 'θ, icin theta icin sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu (θ icin standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Su ifade verilsin

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yontemi kullanilarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

parametreleri olan bir gamma dagilimi gosterdigi ortaya cikartilir.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Momentler (m ile m = 0) orantisi alinarak hesaplanabilir:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Buna gore theta'nin sonsal dagiligiminin ortalama +/- standart sapma kestiriminin soyle olur:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Gamma dağılım gösteren rassal değişken üretimi

İlişkili dağılımlar

Özel dağılımlar

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]