IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Dalga Denklemi

Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için gösterimleri

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır. Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dispersion) göz önüne alınırsa denklemde c yerine
faz hızı

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
şeklinde biçimlenir.

Tek boyutta çözümü

Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür. [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

d'Alembert çözümü

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ve [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

yazılabilir.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

olduğundan,

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

ifadesi ve aynı yol izlenerek

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

ifadesi elde edilebilir. İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan,

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

olarak yazılır. Dolayısıyla denklem,

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

durumuna indirgenmiş olur. Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] o

larak bulunur. Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler.

Fourier dönüşümü ile

Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

yapılırsa

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

biçimine dönüşür.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

denkliği kullanılarak

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

diferansiyel denklemi elde edilir. Burada, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir. Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözümü

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

olarak elde edilir. Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]This image has been resized. Click this bar to view the full image. The original image is sized 683x48 and weights 2KB.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
çözülüerek

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olarak elde edilir.

Değişkenlere ayırma yöntemi ile

Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

iki taraf da u ya bölünürse

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir. Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, − k2, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir. Böylece denklemin sol tarafından:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

ve sağ tarafından da

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

bulunur. Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar. Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri K1eikx ve K2eikct olarak vermek daha rahat olur. Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
1 boyutlu dalga denklemi.

Alıntı.