[Liaaa]

Matematikte, Knuth yukarı ok gösterimin çok büyük tam sayıların gösteriminin yöntemidir. 1976'da Donald Knuth tarafından geliştirild. Ackermann işlevi ve özel hiperişlem serisi ile oldukça bağlantılıdır. Çarpmanın, tekrarlı hiperişlem olarak tekrarlı toplama ve üs alma gibi görülebilmesi fikrine dayanır. Bu durumu devam ettirme tekrarlı üssü (tetrasyonu) ve çoğunlukla Knuth ok gösterimi kullanılarak ifade edilen aşırı seri üretiminin geri kalanını meydana getirir.
TanıtIım

Toplama, çarpma, üs alma gibi sıradan aritmetiksel işlemler, hiperişlem serisinde doğal olarak şöyle ifade edilir.
Bir doğal sayıyı çarpma, tekrarlı toplama olarak şöyle ifade edilebilir:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Örneğin,

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
b'nin doğal kuvveti, tekrarlı çarpma olarak ifade edilebilir ki, Knuth onu tek bir yukarı ok ile ifade etti.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Örneğin,

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
İşlemlerin serisini üslü gösterimden daha gazla genişleterek, tekrarlı üsleri (tetrasyonu) ifade etmek için Knuth, bir “çift ok” işleci (operatörü) tanımladı, şöyle ki:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Örneğin,

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Burada ve aşağıdaki değerlendirmede, Knuth ok işleçlerini soldan sağa doğru yerleştirme (üslü sayılarda olduğu gibi), işleçleri birleştirme olarak tanımlanır.
Bu açıklamadan,

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
etc.Bu zaten epeyce büyük bazı sayıları ifade eder. Fakat Knuth bunu gösterimle (notasyon) yaptı. Şimdi de “iki ok” işleçli (pentasyon olarak ta bilinir) tekrarlı uygulamalar için “üç ok” işlecini tanıyalım:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ardından 'dört ok' işleci:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ve böyle devam eder. Genel kural, bir n ok işleci, (n − 1) ok işleç serisinin sağına doğru yayılarak gider. Sembolik olarak,

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Örnekler:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
gösterimi, n tane ok kullanarak
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
şeklinde ifade etmek yaygın bir şekilde kullanılır.
Gösterim

ab gibi bir ifadede, üs olan b'yi taban sayısı olan a'nın üstindisi olarak yazmak, üstel gösterim olarak bilinir>. Fakat programlama dilleri ve e-posta — gibi birçok ortam — iki boyut düzeni desteklemez. Bu tür ortamlar için insanlar
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
şeklinde lineer gösterim geliştirdi. Yukarı ok kuvvetin artışıdır. Eğer karakter yukarı ok içermezse, onun yerine ^ düzeltme işareti kullanılır.
ab şeklindeki üstindis gösterimi, genelleştirme için kendini iyi ifade etmez. Bundan dolayıdır ki Knuth, çizgisel gösterim olan
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
şeklinde bir gösterim üretti.
Yukarı ok gösterimini kuvvet terimleriyle yazma [değiştir]

Bilinen üslü gösterimi kullanarak
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
yazmaya kalkışmak üslü kule oluşturur.
Örneğin:
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Eğer b bir değişken (veya çok büyük sayı) ise üslü kule, şu örnekte olduğu gibi, noktalar kullanarak yazılır ve kulenin yüksekliğini belirtilir:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Bu gösterime devam edersek,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ifadesi, üslü kule yığınları ile yazılabilir. Herbirinin açıklaması, bir diğerinin üzerine yazılır.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Tekrar eğer b bir değişken veya çok büyük sayı ise, yığın, nokta kullanılarak ve onun yüksekliğini belirtilerek yazılır.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Daha da arttırırsak,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ifadesi, üslü kule yığınlarından oluşan birkaç sütun olarak yazılır. Herbir sütun, yığındaki üslü kulenin sayısını açıklar:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Daha genel bir ifadeyle:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Bu,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'yi herhangi bir a, n ve bnin tekrarlı üssünün tekrarlı üssü olarak ifade eder.
Tetrasyonu kullanma

ba şeklindeki tetrasyon gösterimi, bu diyagramları daha basit yapmamızı sağlarken diğer yandan geometriksel ifadede çalışabiliriz (bu tetrasyon kuleleri olarak adlandırılır).

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Son olarak dordüncü Ackermann sayısı
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
şöyle ifade edilebilir:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Genelleştirmeler

Çok büyük sayılarda Knuth yukarı ok gösteriminin çarpım okları elverişsiz kalır. Bunun yerine n ok işleci olan
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
, (ve okların değişken sayısını açıklamak için) veya eşdeğeri olan hiperişlemler kullanılır.
Bazı sayılar öyle büyüktür ki gösterimler bile onları ifade etmekte aciz kalır. Graham sayısını buna örnek gösterebiliriz. Bunlar için Conway dizisi ok gösterimi kullanılabilir. Üç elemanlı bir dizi, diğer gösterimlerle eşdeğerdir. Fakat dört veya daha fazla elemanlı diziler daha kuvvetlidir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Küçük sayılar için Knuth ok gösterimi, büyükleri için de Conway dizisi veya hiperişlemlerin kullanılması tavsiye edilir.
Açıklama

a,b,n tam sayı ve
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
olması şartıyla, yukarı ok gösterimi normalde şöyle tanımlanır:

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Tüm yukarı ok işleçleri (
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
şeklindeki normal üstel gösterim de dahil), sağa birleşmedir. Örneğin, iki veya daha fazla işleci içeren ifadede işlem sağdan sola doğru yapılır. Örneğin;
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
, örneğin

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
burada,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
iken diğer tarafta:
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Görüldüğü gibi işlemleri sağdan sola doğru yapmanın geçerli bir nedeni vardır. Eğer soldan sağa doğru işlem yapsaydık,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
şöyle olurdu;
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
. Böylece
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
gerekli yeni bir işlem olmazdı.

Değerler tabloları


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'i hesaplama, sonsuz bir tablodaki terimleri yeniden belirleyebiliriz. 2n sayılarını en üst satıra koyduk (1, 2, 4, 8, 16,... şeklinde devam eden satır). Tablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
= hiper (aşırı)(2, m + 2, n) = 2 → n → m değerleri m\n 1 2 3 4 5 6 formül 1 2 4 8 16 32 64 2n 2 2 4 16 65536
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
3 2 4 65536
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
4 2 4
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
Yukarıdaki tablo Ackermann işlevi ile hemen hemen aynıdır.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'ni hesaplama:
3n sayılarını en üst satıra koyduk. ablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
= hiper(3, m + 2, n) = 3 → n → m değerleri m\n 1 2 3 4 5 formül 1 3 9 27 81 243 3n 2 3 27 7.625.597.484.987 37.625.597.484.987
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
3 3 7.625.597.484.987
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
4 3
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'yi hesaplama;
10n sayılarını en üst satıra koyduk. Tablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
= hiper(10, m + 2, n) = 10 → n → m değerleri m\n 1 2 3 4 5 formula 1 10 100 1,000 10,000 100,000 10n 2 10 10,000,000,000 1010,000,000,000
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
3 10
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
4 10
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
2 ≤ n ≤ 9 için
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
sayılarının sayısal sırası m nin en belirgin sayı olduğu sözlüksel sıralamadır. Böylece bu 8 sütunluk sayılar için, sayısal sıralama basit satırdan satıradır. 97 sütunluk sayılar için aynı uygulama 3 ≤ n ≤ 99'dir ve ve eğer m = 1 'den başlarsak 3 ≤ n ≤ 9.999.999.999 olur
Hiperişlem dizisindeki sayısal sistemler

Knuth oklarından farklı olan Goodstein [1947] gösterim sisteminde hiperişlem dizisini kullandı. Bu gösterimde, negatif olmayan tam sayılar sistemini oluşturmak için
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
kullandı.
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
gibi üstindisleri,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
gibi süper işleçlerle ilişkilendirdi. Bunu n tamsayısının kesin kalıtsal temsili olarak adlandırdı. k seviyesi ve b tabanı, sadece k hiperişlemleri ve sadece 0, 1, ..., b-1 dijitlerini kullanarak ifade edilebilir: