IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Tüm doğal sayıların toplamını belirten ve
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde de yazılabilen 1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesi bir ıraksak seridir. Serinin ilk n teriminin toplamı
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
formülüyle hesaplanır.
Serinin bütününün ilk bakışta anlamsız görünmesi yanıltıcıdır. Serinin farklı biçimlerdeki yazımları karmaşık çözümleme, kuantum teorisi ve sicim kuramı alanları için işe yarar sonuçlar üretir.
Kısmi toplam formülünün kanıtı

n'ye değin doğal sayıların toplamının [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olduğu birkaç farklı yöntemle gösterilebilir. İlk olarak aşağıdaki eşitlik kurulu olsun.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Terimler sondan başa doğru sıralandığında
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi elde edilir. Bu ifade önceki ile toplanırsa
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] sonucuna ulaşılır.
Zeta fonksiyonunun toplamı ve analitik sürekliliği [

1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesinin Ramanujan toplamı −1⁄12'dir.
s'nin gerçel kısmı 1'den büyükse s'nin Riemann zeta fonksiyonu [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] toplamına eşit olur. Bu toplam, s'nin 1'e eşit ya da 1'den küçük olması durumunda ıraksar ancak s = −1 ise ζ(s)'nin analitik sürekliliği −1⁄12'ye eşit olur.
Fizikteki kullanımı

Bozonik sicim kuramında ana amaç bir sicimin sahip olduğu erke düzeylerinin hesaplanmasıdır. Sicimin her armonisi D bağımsız kuantum harmonik titreşiminden oluşan bir çokluk olarak görülebilir. Burada D, uzayzaman boyutunu belirtir. Temel titreşim sıklığı ω ise n. armoniye karşılık gelen erke miktarı [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]'dir. Iraksak seri kullanıldığında tüm armonilerin toplamının [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olduğu görülür. Böylece, biyonik sicim kuramının 26 dışındaki boyutlarda tutarlı olmadığı kanıtlanmış olur.
Casimir kuvvetinin berilmesinde de benzer bir hesaba gereksinim duyulur.
Tarihi

Srinivasa Ramanujan'ın G. H. Hardy'ye yazdığı 27 Şubat 1913 tarihli ikinci mektupta şöyle denilmektedir:

"Bayım, 8 Şubat 1913 tarihli mektubunuzu okumuş olmaktan ötürü çok hoşnutum. Sizden daha önce Londralı bir matematik profesöründen almış olduğum ve bana Bromwich'in Sonsuz Serileri'ne çalışmamı salık veren yanıta benzer bir karşılık bekliyordum. … Ona kuramımın 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1⁄12 eşitliğini sağladığını söyledim. Bunu delice bir girişim olarak görebilirsiniz ancak size yazmaktaki tek amacım kuramımı kanıtlamaya yarayan yöntemleri yalnızca bir mektupta anlatmam durumunda kuramın size yeterince açıklayıcı olmayacağı konusunda sizi ikna etmekti. …