Hurwitz Teoremi - IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Liaaa · 06 Nisan 2012, 10:28

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, Alman matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Teoremin ifadesi ve kanıtı

Hurwitz teoreminin değişik kaynaklarda yaygın iki ifadesi mevcuttur:
İfade 1: [1] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun.
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
de D üzerinde tanımlı, her bir öğesi D üzerinde sıfır olmayan bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun (Yani,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
). Eğer bu dizi D nin her tıkız altkümesinde bir
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
fonksiyonuna düzgün yakınsak ise, o zaman ya
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'dır ya da
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'nin D üzerinde sıfırı yoktur.
Kanıt: Varsayalım ki
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
D üzerindeki her noktada 0 olmasın (yani sıfır fonksiyonu olmasın) ama D 'nin en az bir noktasında da 0 değerini alsın. Diyelim ki bu nokta P olsun; yani
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
olsun. Bir çelişki elde etmemiz lazım. İlk önce gözlemlemiz gereken
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'nin de holomorf olacağıdır; çünkü
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
holomorf fonksiyonların tıkız altkümeler üzerindeki düzgün yakınsadığı bir fonksiyondur. O yüzden, D üzerindeki herhangi bir noktada
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'nin türevini almakta sakınca yoktur.Öyle bir r>0 seçelim ki P merkezli ve r yarıçaplı kapalı daire D 'nin içinde kalsın ve aynı zamanda
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
de bu kapalı daire üzerinde P noktasından başka bir yerde 0 değerini almasın. Böyle bir r bulabiliriz: Evvela, D bir bölgedir ve bu yüzden açık ve bağlantılı bir kümedir. Aynı zamanda, holomorf fonksiyonların sıfırları korunmalı noktalardır. Şimdi,
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ifadesi
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'nin P'deki sıfırının mertebesini verecektir. Yani varsayımımız üzerine en az 1 olacaktır. Diğer taraftan, her k için
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
sıfır değerini almadığı için
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ifadesi Cauchy integral teoremi sayesinde 0'a eşit olacaktır. Ancak, aynı zamanda en son yazdığımız bu integral
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
iken ilk yazdığımız integral ifadesine yakınsayacaktır; çünkü | ζ − P | = r tıkız bir kümedir ve bu küme üzerinde teoremin varsayımı gereği
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ve
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
düzgün yakınsamaları vardır. İkinci yazdığımız her k için 0'a eşitti ve ilk yazdığımız ifade de 1'den büyüktü. Bu bir çelişkidir. O zaman teorem doğrudur.
İfade 2: [2] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun.
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
de D üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun ve bu dizi de D üzerinde tanımlı bir
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
fonksiyonuna yakınsasın. Eğer
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ve
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
üzerinde
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ise, o zaman öyle bir
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
vardır ki her
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
için
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
ve
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
'nin
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
içinde aynı sayıda sıfırı vardır.
İkinci ifadenin kanıtı da birinci kanıta benzer olarak yapılabilir. Örnekler

İlk ifadenin örneği olarak
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
alabiliriz. Üstel fonksiyon 0 değerini almadığı için her n için dizinin fonksiyonları sıfır olmaz ve bu dizinin
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
iken yakınsadığı fonksiyon 0 fonksiyonudur.
İkinci ifadede, alınan dairenin sınırında
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
koşulu önemlidir. Mesela, birim daire üzerinde

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
fonksiyonları
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
noktalarında 0 değeri alır. Ancak, bu fonksiyonların yakınsadığı f(z) = z − 1 fonksiyonunun birim daire üzerinde sıfırı yoktur.

Benzer Konular
Konu	Konuyu Başlatan	Forum	Cevaplar	Son Mesaj
Stewart Teoremi	Liaaa	Geometri	1	06 Şubat 2014 19:52
Eksiklik Teoremi	Liaaa	Ödev ve Tezler	0	06 Nisan 2012 10:25
Bayes Teoremi	Liaaa	Ödev ve Tezler	0	06 Nisan 2012 10:21
Abel Teoremi	Liaaa	Ödev ve Tezler	0	05 Nisan 2012 03:08

Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)

5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu gereğince sitemizde telif hakkı bulunan mp3,video v.b. eserlerin paylaşımı yasaktır. Yasal işlem olması halinde paylaşan kişi yada kişilerin bilgileri gerekli kuruma verilecektir.