IRCForumları - IRC ve mIRC Kullanıcılarının Buluşma Noktası

Matematikte bir çizgi integrali (bazen yol integrali, eğri integrali veya eğrisel integral de denilir), integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır.
İntegrali alınan fonksiyon (integrand), skaler alan veya vektör alanı olabilir. Çizgi integralinin değeri, alanın eğri üzerinde bir skaler fonksiyonla ağırlıklaştırılmış (genelde bu ağırlık yay uzunluğudur veya bir vektör alanı için, vektör alanının diferansiyel bir eğriyle skaler çarpımıdır) olarak aldığı tüm değerlerin toplamının değeridir. Bu ağırlık, çizgi integralini aralıklar üzerinde tanımlanan daha basit integrallerden ayırır. Fizikteki çoğu basit formül (mesela, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]), çizgi integrali bağlamında doğal sürekli analoglara sahiptir ([Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]). Çizgi integrali yandaki resimdeki gibi, bir elektrik veya yerçekimsel alanda hareket eden bir nesnenin üzerinde yapılan işi bulur.
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Vektör hesabı

Niteliksel bağlamda, çizgi integrali bir eğri boyunca verilmiş olan bir alanın toplam etkisinin ölçümü olarak düşünülebilir.
Bir skaler alanın çizgi integrali

Bir f : U ⊆ Rn [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] R skaler alanı için, bir C ⊂ U boyuncaki çizgi integrali
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde tanımlanır. Burada r: [a, b] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] C ise r(a) ve r(b) C 'nin son noktaları olacak şekilde, C 'nin herhangi bir birebir örten parametrizasyonudur.
f fonksiyonu integrand, C eğrisi integralin tanım kümesi ve ds sembolü ise yay uzunluğudur. Skaler alanların çizgi integralleri seçilmiş r parametrizasyonuna bağlı değildir.
Bir vektör alanının çizgi integrali [değiştir]

Bir F : U ⊆ Rn [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Rn vektör alanı için, C ⊂ U boyunca, r yönündeki çizgi integrali
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde tanımlanır. Burada [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] nokta çarpımıdır ve r: [a, b] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] C ise, r(a) ve r(b) C 'nin sonnoktaları olacak şekilde, C eğrisinin birebir örten bir parametrizasyonudur.
Bir skaler alanın çizgi integrali bu yüzden vektörlerin doğruya her zaman teğet olduğu bir vektör alanının çizgi integralidir.
Vektör alanlarının çizgi integralleri, mutlak değer içindeki r parametrizasyonuna bağlı değildir; ancak eğrinin yönüne bağlıdır. Dha ayrıntılı bir şekilde, parametrizasyonun yönündeki tersi bir değişim çizgi integralinin işaretini değiştirir.
Yol bağımsızlığı

Ana madde: Gradyan teoremi
Bir F vektör alanı, bir G skaler alanının gradyanıysa; yani
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ise, o zaman G ve r(t) 'nin bileşkesinin türevi
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olur ki bu da F 'nin r(t) üzerindeki çizgi integralinin integrandıdır. O zaman, verilen bir C yolu için
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olmaktadır. Yazıyla ifade edilirse, F 'nin C üzerindeki integrali sadece G nin r(b) ve r(a) noktalarındaki değerlerine bağlıdır ve bu yüzden aradaki yoldan bağımsızdır.
Bu sebeple, bir skaler alanın gradyanı olan bir vektör alanının çizgi integrali yoldan bağımsız olarak adlandırılır.
Uygulamalar

Çizgi integralinin fizikte birçok uygulaması vardır. Mesela, bir F vektör alanı olarak temsil edilen bir kuvvet alanı içinde yer alan bir C eğrisi üzerinde hareket etmekte olan bir parçacığın üzerinde yapılan iş F 'nin C üzerindeki çizgi integralidir.
Karmaşık çizgi integrali [değiştir]

Çizgi integrali karmaşık analizde temel bir araçtır. U, C'nin açık bir kümesi olsun, γ : [a, b] [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] U doğrultulabilir eğri ve f : U [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] C bir fonksiyon olsun. O zaman
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] çizgi integrali, [a, b] aralığını a = t0 < t1 < ... < tn = b olacak şekilde daha küçük aralıklara ayırılarak ve
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesi göz önüne alınarak düşünülebilir. O zaman, alt aralıkların uzunlukları sıfıra gittikçe, integral bu toplamın limiti olur.
Eğer γ sürekli türevlenebilir bir eğriyse, çizgi integrali gerçel değişkenli bir fonksiyonun integrali olarak değerlendirilebilir:
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] γ kapalı bir eğri olduğu zaman, yani, başlangıç ve bitiş noktaları aynıysa,
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] gösterimi, f 'nin γ boyuncaki çizgi integrali için kullanılır.
Karmaşık fonksiyonların çizgi integralleri çeşitli teknikler kullanılarak değerlendirilebilir: İntegral, gerçel ve karmaşık kısımlarına bölünüp problem iki tane gerçel integralin bulunması problemine düşürülebilir, Cauchy integral formülü diğer durumlarda kullanılabilir. Eğer çizgi integralinin alındığı eğri, fonksiyonun analitik olduğu ve tekillik içermediği bir bölgede kapalı bir eğriyse, o zaman integralin değeri sadece 0 olur ki bu da Cauchy integral teoremi'nin bir sonucudur. Kalıntı teoremi sebebiyle, gerçel değişkene sahip gerçel değerli fonksiyonların integralini bulmak için çoğu zaman karmaşık düzlemde kontür integralleri kullanılır. (örnek için kalıntı teoremine bakınız.)
Örnek

f(z)=1/z fonksiyonunu ele alalım. C kontürü, eit, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] şeklinde parametrize edilebilen, 0 etrafındaki birim çember olsun. Değişken değiştirmeyle
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ifadesini buluruz. Burada, herhangi bir karmaşık z sayısının r, z 'nin modülüsü (mutlak değeri) olacak şekilde reit olarak yazılabileceğini kullandık. Birim çember üzerinde r = 1 olduğu için geriye kalan tek değişken t ile gösterilen açı değişkenidir. Cevap, aynı zamanda Cauchy integral formülü ile de doğrulanabilir.
Bir vektör alanının integrali ile karmaşık çizgi integrali arasındaki ilişki

Karmaşık sayıları 2 boyutlu vektörler olarak alırsak, 2 boyutlu bir vektör alanının çizgi integrali, karşılık gelen karmaşık değerli karmaşık fonksiyonun eşleniğinin çizgi integralinin gerçel kısmına denk gelir. Daha ayrıntılı bir şekilde, [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ve f(z) = u(z) + iv(z) ise, o zaman sağ taraftaki her iki integral de var olduğu ve C 'nin z(t) parametrizasyonu [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] ile aynı yönde olduğu sürece
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] eşitliği elde edilir.
Cauchy-Riemann denklemleri sebebiyle, bir holomorf fonksiyonun eşleniğine karşılık gelen bir vektör alanının körlü sıfırdır. Bu da her iki tip integralin de sıfır olduğu Stokes teoremi ile ilişkilidir.
Ayrıca, çizgi integrali değişken değiştirme kullanılarak da değerlendirilebilir.