| |
|
25 Nisan 2012, 02:05
| #1 | |
| Çevrimdışı  IF Ticaret Sayısı: (0) | Çizgi İntegrali Matematikte bir çizgi integrali (bazen yol integrali, eğri integrali veya eğrisel integral de denilir), integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır. İntegrali alınan fonksiyon (integrand), skaler alan veya vektör alanı olabilir. Çizgi integralinin değeri, alanın eğri üzerinde bir skaler fonksiyonla ağırlıklaştırılmış (genelde bu ağırlık yay uzunluğudur veya bir vektör alanı için, vektör alanının diferansiyel bir eğriyle skaler çarpımıdır) olarak aldığı tüm değerlerin toplamının değeridir. Bu ağırlık, çizgi integralini aralıklar üzerinde tanımlanan daha basit integrallerden ayırır. Fizikteki çoğu basit formül (mesela, Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. ), çizgi integrali bağlamında doğal sürekli analoglara sahiptir ( Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. ). Çizgi integrali yandaki resimdeki gibi, bir elektrik veya yerçekimsel alanda hareket eden bir nesnenin üzerinde yapılan işi bulur. Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. Vektör hesabı Niteliksel bağlamda, çizgi integrali bir eğri boyunca verilmiş olan bir alanın toplam etkisinin ölçümü olarak düşünülebilir. Bir skaler alanın çizgi integrali Bir f : U ⊆ Rn Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. R skaler alanı için, bir C ⊂ U boyuncaki çizgi integrali Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. şeklinde tanımlanır. Burada r: [a, b] Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. C ise r(a) ve r(b) C 'nin son noktaları olacak şekilde, C 'nin herhangi bir birebir örten parametrizasyonudur. f fonksiyonu integrand, C eğrisi integralin tanım kümesi ve ds sembolü ise yay uzunluğudur. Skaler alanların çizgi integralleri seçilmiş r parametrizasyonuna bağlı değildir. Bir vektör alanının çizgi integrali [değiştir] Bir F : U ⊆ Rn Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. Rn vektör alanı için, C ⊂ U boyunca, r yönündeki çizgi integrali Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. şeklinde tanımlanır. Burada Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. nokta çarpımıdır ve r: [a, b] Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. C ise, r(a) ve r(b) C 'nin sonnoktaları olacak şekilde, C eğrisinin birebir örten bir parametrizasyonudur. Bir skaler alanın çizgi integrali bu yüzden vektörlerin doğruya her zaman teğet olduğu bir vektör alanının çizgi integralidir. Vektör alanlarının çizgi integralleri, mutlak değer içindeki r parametrizasyonuna bağlı değildir; ancak eğrinin yönüne bağlıdır. Dha ayrıntılı bir şekilde, parametrizasyonun yönündeki tersi bir değişim çizgi integralinin işaretini değiştirir. Yol bağımsızlığı Ana madde: Gradyan teoremi Bir F vektör alanı, bir G skaler alanının gradyanıysa; yani Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. ise, o zaman G ve r(t) 'nin bileşkesinin türevi Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. olur ki bu da F 'nin r(t) üzerindeki çizgi integralinin integrandıdır. O zaman, verilen bir C yolu için Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. olmaktadır. Yazıyla ifade edilirse, F 'nin C üzerindeki integrali sadece G nin r(b) ve r(a) noktalarındaki değerlerine bağlıdır ve bu yüzden aradaki yoldan bağımsızdır. Bu sebeple, bir skaler alanın gradyanı olan bir vektör alanının çizgi integrali yoldan bağımsız olarak adlandırılır. Uygulamalar Çizgi integralinin fizikte birçok uygulaması vardır. Mesela, bir F vektör alanı olarak temsil edilen bir kuvvet alanı içinde yer alan bir C eğrisi üzerinde hareket etmekte olan bir parçacığın üzerinde yapılan iş F 'nin C üzerindeki çizgi integralidir. Karmaşık çizgi integrali [değiştir] Çizgi integrali karmaşık analizde temel bir araçtır. U, C'nin açık bir kümesi olsun, γ : [a, b] Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. U doğrultulabilir eğri ve f : U Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. C bir fonksiyon olsun. O zaman Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. çizgi integrali, [a, b] aralığını a = t0 < t1 < ... < tn = b olacak şekilde daha küçük aralıklara ayırılarak ve Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. ifadesi göz önüne alınarak düşünülebilir. O zaman, alt aralıkların uzunlukları sıfıra gittikçe, integral bu toplamın limiti olur. Eğer γ sürekli türevlenebilir bir eğriyse, çizgi integrali gerçel değişkenli bir fonksiyonun integrali olarak değerlendirilebilir: Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. γ kapalı bir eğri olduğu zaman, yani, başlangıç ve bitiş noktaları aynıysa, Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. gösterimi, f 'nin γ boyuncaki çizgi integrali için kullanılır. Karmaşık fonksiyonların çizgi integralleri çeşitli teknikler kullanılarak değerlendirilebilir: İntegral, gerçel ve karmaşık kısımlarına bölünüp problem iki tane gerçel integralin bulunması problemine düşürülebilir, Cauchy integral formülü diğer durumlarda kullanılabilir. Eğer çizgi integralinin alındığı eğri, fonksiyonun analitik olduğu ve tekillik içermediği bir bölgede kapalı bir eğriyse, o zaman integralin değeri sadece 0 olur ki bu da Cauchy integral teoremi'nin bir sonucudur. Kalıntı teoremi sebebiyle, gerçel değişkene sahip gerçel değerli fonksiyonların integralini bulmak için çoğu zaman karmaşık düzlemde kontür integralleri kullanılır. (örnek için kalıntı teoremine bakınız.) Örnek f(z)=1/z fonksiyonunu ele alalım. C kontürü, eit, Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. şeklinde parametrize edilebilen, 0 etrafındaki birim çember olsun. Değişken değiştirmeyle Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. ifadesini buluruz. Burada, herhangi bir karmaşık z sayısının r, z 'nin modülüsü (mutlak değeri) olacak şekilde reit olarak yazılabileceğini kullandık. Birim çember üzerinde r = 1 olduğu için geriye kalan tek değişken t ile gösterilen açı değişkenidir. Cevap, aynı zamanda Cauchy integral formülü ile de doğrulanabilir. Bir vektör alanının integrali ile karmaşık çizgi integrali arasındaki ilişki Karmaşık sayıları 2 boyutlu vektörler olarak alırsak, 2 boyutlu bir vektör alanının çizgi integrali, karşılık gelen karmaşık değerli karmaşık fonksiyonun eşleniğinin çizgi integralinin gerçel kısmına denk gelir. Daha ayrıntılı bir şekilde, Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. ve f(z) = u(z) + iv(z) ise, o zaman sağ taraftaki her iki integral de var olduğu ve C 'nin z(t) parametrizasyonu Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. ile aynı yönde olduğu sürece Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir. eşitliği elde edilir. Cauchy-Riemann denklemleri sebebiyle, bir holomorf fonksiyonun eşleniğine karşılık gelen bir vektör alanının körlü sıfırdır. Bu da her iki tip integralin de sıfır olduğu Stokes teoremi ile ilişkilidir. Ayrıca, çizgi integrali değişken değiştirme kullanılarak da değerlendirilebilir. | |
| |  |
| IRCForumlari.NET Reklamlar |
   |
 |
| Etiketler |
| cizgi |
| Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir) | |
| Seçenekler | |
| Stil | |
| |
Benzer Konular | ||||
| Konu | Konuyu Başlatan | Forum | Cevaplar | Son Mesaj |
| Çizgi | Burce | Şiir, Hikaye ve Güzel Sözler | 0 | 11 Nisan 2012 19:14 |
Normal
