| |
|
01 Mayıs 2012, 01:48
| #1 | |
| Çevrimdışı  IF Ticaret Sayısı: (0) | Monty Hall Problemi Monty Hall problemi, Amerikan TV yarışma programı Let's Make a Deal'a dayanan bir olasılık bulmacasıdır. Problem adını, yarışmanın sunucusu Monty Hall'dan alır. İçinde bir paradoksu da barındırması nedeniyle Monty Hall paradoksu olarak da anılan problemin sonucu saçma görünmekle birlikte, ispatlanabilir ve doğrudur. Problemin iyi bilinen bir açıklaması Parade dergisinde yayımlandı: « Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1'inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3'üncüyü açıyor. Daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır? Yarışmacı geriye kalan iki kapıdan hangisinin kazanan olduğundan emin olamadığı için, çoğu kişi bu kapıların eşit olasılığa sahip olduğunu ve seçimi değiştirmenin hiçbir şeyi değiştirmeyeceğini sanır. Aslında, problemin klasik açıklamasına göre yarışmacı seçimini değiştirmelidir. Zira böylece arabayı bulma olasılığını 1/3'ten 2/3'e çıkarır; yani ikiye katlar. Problemin yukarıdaki açıklaması ve çözümü Parade'de yer aldığı zaman, aralarında doktora derecesi olan 1.000 civarında kişinin de bulunduğu yaklaşık 10.000 okur, dergiye yazarak, çözümün yanlış olduğunu iddia etti. Bazı eleştirmenler problemin Parade versiyonunda sunucunun davranışının belli açılardan iyi şekilde açıklanmadığını; örneğin sunucunun bir kapıyı açıp böyle bir öneri yapıp yapamayacağının bilinmediğini belirtti. Öte yandan, bu gibi olası davranışların söz konusu tartışmayla bir ilgisi yoktur ya da probleme etkisi çok azdır (vos Savant 1990) ve bu davranış yazar tarafından açıkça belirtilmiştir (Seymann 1991). Problemin daha genel yorumları, örneğin bazı durumlarda sunucunun ardında araba olan kapıyı açabileceği, matematik eserlerinde tartışılmıştır. Monty Hall problemi, yaygın biçimlerinden biriyle, daha eski bir problem olan Üç Mahkum Problemine matematiksel olarak eşittir ve bunların ikisi birden daha da eski olan Bertrand'ın kutusu paradoksuyla benzerlikler gösterir. Bunlar ve olasılığın eşit olmayan şekilde dağıtımıyla ilgili diğer problemlerin doğru şekilde çözümünün zor olduğu yönünde bir inanış vardır ve bu durum problemlerin nasıl algılandığını ele alan psikolojik çalışmaların yapılmasına yol açmıştır. Monty Hall probleminin tamamıyla açık çözümüyle buna ilişkin açıklamalar, benzetme ve resmi matematiksel kanıtlar ortaya konulduğunda bile, çoğu kişi doğru yanıta şüpheyle bakmaktadır. Problem Steve Selvin 1975'te American Statistician'a bir mektup yazarak kabaca yarışma programı Let's Make a Deal'a dayanan bir problemi anlattı. Daha sonraki bir mektubunda buna "Monty Hall problemi" adını verdi (Selvin 1975b). Matematiksel formulasyonlarından birinde (ki buna şartlı versiyon denilir, aşağıya bakınız), problem Martin Gardner'ın 1959'da Scientific American'daki köşesi Mathematical Games'te açıkladığı (Gardner 1959a) Üç Mahkum Problemine matematiksel olarak eşittir (Morgan et al., 1991). Selvin'in Monty Hall problemi iyi bilinen haliyle, Marilyn vos Savant'ın Parade dergisindeki Ask Marilyn köşesinde yayımlanan bir mektupla yeniden gündeme geldi: « Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1'inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3'üncüyü açıyor. Daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır? (Whitaker 1990) » Problemin bu formulasyonunda bazı belirsizlikler vardır: Sunucunun her zaman bir başka kapıyı açıp açmayacağı, her zaman bir kapı değiştirme önerisi getirip getirmeyeceği ya da ardında araba bulunan kapıyı açıp açmayacağı net değildir (Mueser and Granberg 1999). Öte yandan, yaygın yoruma göre, sunucunun her zaman ardında keçi olan bir kapıyı açmak ve kapı değiştirme önerisinde bulunmak zorunda olduğu ve yarışmacının ilk seçiminin 1/3 olasılıkla doğru olduğu kabul edilir. Ayrıca yarışmacının ilk seçimi ardında araba olan kapı ise, sunucunun kalan iki kapıdan birini tamamen rastgele açacağı çoğunlukla kabul edilir (Barbeau 2000:87). Soruyu soranın kesin niyetini açıkça anlamadan, herhangi bir problemin tek bir doğru çözümü bile olamaz (Seymann 1991). İnsanların genellikle algıladığı matematiksel olarak açık sorunun formulasyonu, Krauss ile Wang'e göre şöyledir « Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Yarışmanın kuralları şunlar: Siz kapıyı seçtikten sonra, kapı hemen açılmaz. Kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu Monty Hall, şimdi geriye kalan iki kapıdan birini açmak zorundadır ve açacağı kapının ardında mutlaka bir keçi olacaktır. Eğer geriye kalan iki kapının ardında da keçi varsa, kapılardan birini rastgele seçecektir. Monty Hall ardında keçi olan kapıyı açtıktan sonra, size ilk seçiminizi değiştirip kalan kapılardan diğerini seçmek isteyip istemediğinizi soracaktır. Düşünün ki Kapı 1'i seçtiniz ve sunucu ardında keçi olan Kapı 3'ü açtı. Daha sonra size "Seçiminizi 2 numaralı kapıdan yana değiştirmek ister misiniz?" diye sordu. Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır? Ayrıca, yarışmacı için arabayı kazanmanın keçiyi kazanmaya göre daha tercih edilir olduğunu varsaymamız gerekir. Popüler çözüm Yarışmacı kapılardan birini seçtiğinde, seçilen kapının ardında araba olma olasılığı 1/3'tür ve araba 2/3 olasılıkla diğer kapılardan birinin ardındadır. Sunucunun ardında keçi olan bir kapıyı açması, yarışmacıya seçtiği kapının ardında ne olduğuyla ilgili yeni bir bilgi vermez. O kapının ardında araba olma olasılığı hâlâ 1/3'tür. Sunucunun verdiği yeni bilgi, açılan kapının ardında araba olma olasılığının 0/3 olduğudur. Dolayısıyla araba 2/3 olasılıkla hâlâ açılmayan kapının ardındadır (Wheeler 1991; Schwager 1994). Kapı seçimi değiştirilirse arabayı kazanma olasılığı 2/3'tür, bu nedenle yarışmacı seçimini değiştirmelidir (Wheeler 1991; Mack 1992; Schwager 1994; vos Savant 1996:8; Martin 2002). Bu popüler hikâyeyi matematiksel olarak kesin bir çözüme kavuştururken, 2. ya da 3. kapıyı açmanın 1. kapının ardında araba olma olasılığını neden değiştirmediği sorulabilir. Bu soru, simetriye başvurularak yanıtlanabilir: Yukarıda yapılan varsayımlar ışığında, kapılar rastgele yeniden numaralandırılırsa ve özellikle 2 ile 3 yer değiştirirse, değişen bir şey olmaz. Dolayısıyla, arabanın 1. kapının ardında olması, yarışmacının 1'i seçmesi ve Monty'nin 2'yi açması şartlı olasılığı, yine arabanın 1. kapının ardında olması, yarışmacının 1'i seçmesi ve Monty'nin 3'ü açması şartlı olasılığına eşittir. Bu iki (eşit) olasılığın ortalaması 1/3'tür, bundan dolayı her birinin olasılığı da ayrı ayrı 1/3'tür. Analiz, yarışmacının başlangıçta arabayı, keçi A'yı ya da keçi B'yi seçmesi eşit olasılıklarına göre örneklendirilerek açıklanabilir (Economist 1999): 1. Sunucu iki keçiden birini açar. Pfeil.png Monty-DoubleSwitchfromCar.svg Yarışmacı arabayı seçmiştir. (olasılık: 1/3) Karar değiştirmek kaybettirir. 2. Monty-CurlyPicksGoatA.svg Sunucu B keçisini açmak zorunda kalır. Yarışmacı A keçisini seçmiştir. (olasılık: 1/3) Karar değiştirmek kazandırır. 3. Monty-CurlyPicksGoatB.svg Sunucu A keçisini açmak zorunda kalır. Yarışmacı B keçisini seçmiştir. (olasılık: 1/3) Karar değiştirmek kazandırır. Yarışmacının ilk tercihinde arabayı, A keçisini ya da B keçisini seçme ihtimali eşittir. Bu durumda karar değiştirmek, 2/3 ihtimalle kazandırır. Yukarıdaki diyagram seçimini değiştiren bir yarışmacının her zaman ilk seçiminin tam tersini elde edeceğini gösterir ve bu seçimin keçi olma olasılığı araba olma olasılığının iki katı olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman avantajlıdır. Diğer deyişle, önce keçiyi seçmiş olma olasılığı 2/3, arabayı seçmiş olma olasılığı ise 1/3'tür. Monty Hall artık "keçili kapıyı" ortadan kaldırdıktan sonra, baştan ardında keçi olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının arabayı kazanması, baştan ardında araba olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının ise keçiyi "kazanması" gerekir. Yarışmacının baştan keçiyi seçmiş olma olaslığı 2/3 olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman yararına olacaktır. Diğer iki kapının şansı 2/3 iken, yarışmacının seçtiği kapının şansı 1/3'tür. Yarışmacının seçtiği kapının şansı 1/3, diğer iki kapının şansı 2/3. Bu 2/3'lik şans, hâlâ açılmamış olan kapınınki 2/3 ve sunucunun açtığı kapınınki 0 olmak üzere paylaştırılır. Çözümü anlamanın bir başka yolu, en baştaki seçilmemiş iki kapıyı birlikte değerlendirmektir. Bir kapının açılıp kaybedilen kapı olarak gösterilmesi yerine, buna eşit bir işlem olarak (açılmış olan kapı seçilemeyeceğinden) seçilmemiş olan iki kapı tek bir olarak düşünülebilir. (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel et al., 2008). Cecil Adams'ın ifade ettiği gibi (Adams 1990), "Monty aslında şunu söylemektedir: Seçtiğiniz kapıda ısrar edebilir ya da diğer iki kapıya sahip olabilirsiniz." Yarışmacı bu durumda ilk seçimini korumak ya da iki kapının ardındakilerin toplamını seçmek hakkına sahiptir. Zira 2/3'lük arabayı saklama şansı, bu kapılardan birinin açılmasıyla değişmiş olmaz. Keith Devlin'in sözleriyle (Devlin 2003), "Kapıyı açarak Monty yarışmacıya şunu söylemektedir: 'Seçmediğiniz iki kapı var ve ödülün bunlardan birinin ardında olma olasılığı 2/3. Ödülün nerede olduğunu bildiğimden bu iki kapıdan birini açarak ardında ödül bulunmadığını gösterecek ve size yardım edeceğim. Artık bu ek bilgiden yararlanabilirsiniz. Seçtiğiniz A kapısı 3'te 1 olasılıkla kazanandır. Bunu değiştirmiş olmuyorum. Ancak C'yi eleyerek size, B'nin 3'te 2 olasılıkla ödülü sakladığını göstermiş oluyorum.'" Olasılıklı çözüm Morgan ve diğerleri (1991) popüler çözümlerin çoğunun, Whitaker'ın Kapı 1'i seçen ve sunucunun Kapı 3'ü açtığını gören yarışmacıya ilişkin özgün sorusunu (Seymann) açıkça ele almadıkları için eksik olduğunu belirtti. Bu çözümler seçimini değiştiren tüm yarışmacılar için kazanma olasılığının 2/3 olduğunu doğru şekilde gösterir. Ancak belli varsayımlar yapılmaksızın bu, seçimin değiştirilmesiyle kazanma olasılığının mutlaka 2/3 olacağı anlamına gelmez. Bu olasılık, bir koşullu olasılıktır (Morgan et al. 1991; Gillman 1992; Grinstead and Snell 2006:137; Gill 2009b). Aradaki fark, analizin yarışmacının ilk seçimi ile sunucunun açtığı kapının toplam olası kombinasyonlarına göre ortalama olasılığına mı, yoksa yalnızca yarışmacının Kapı 1'i seçtiği ve sunucunun Kapı 3'ü açtığı belirli tek bir duruma mı dayandığına bağlıdır. Farkı açıklamanın bir diğer yolu da, yarışmacının seçimini değiştirmeye sunucu bir kapıyı açmadan önce karar vermek zorunda mı olduğu, yoksa sunucunun hangi kapıyı açtığını gördükten sonra karar vermesine izin verilip verilmediğine ilişkindir (Gillman 1992). Yukarıda kesin olarak belirtilen problem açıklaması için bu iki olasılık da 2/3 olmasına karşın, koşullu olasılık, toplam olasılığa ve bunlardan birinin ya da ikisinin birden problemin tam formulasyonuna bağlı olarak saptanıp saptanamayacağına göre değişebilir . Yarışmacının 1. kapıyı seçmesi hâlinde tüm olası sonuçları ve bunların gerçekleşme ihtimallerini gösteren karar ağacı Sunucunun hangi kapıyı açtığını bilerek seçimi değiştirme sonucunda kazanmanın koşullu olasılığı, aşağıdaki genişletilmiş tabloya ya da aynı olasılıkları gösteren yandaki seçim ağacına başvurularak (Chun 1991; Grinstead and Snell 2006:137-138) veya aşağıdaki matematiksel formulasyon bölümüne bakılarak saptanabilir. Örneğin, sunucu Kapı 3'ü açar ve yarışmacı seçimini değiştirirse, yarışmacı, eğer araba Kapı 2'nin arkasındaysa 1/3 olasılıkla kazanır ve araba Kapı 1'in arkasındaysa 1/6 olasılıkla kaybeder. Sunucunun Kapı 2'yi açmasına bağlı olasılıklar bu hesaba dahil değildir. Bu koşullu olasılıkları dönüştürmek için, bunlar toplamlarına bölünür. Böylece yarışmacı Kapı 1'i seçtiği ve sunucu Kapı 3'ü açtığında kazanmanın koşullu olasılığı (1/3)/(1/3 + 1/6), yani 2/3'tür. Bu çözüm, problemde sunucunun kapılardan birini rastgele açmaya, yarışmacının ilk seçimini yapmasından sonra karar vereceğine ilişkin sınırlamaya bağlıdır. | |
| |  |
| IRCForumlari.NET Reklamlar |
   |
 |
| Etiketler |
| hall, monty, problemi |
| Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir) | |
| |
Normal
