Çevrimdışı

ANALİTİK GEOMETRİ

1. Analitik Düzlem
Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.
Dik koordinat sistemi

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.
Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Orijinin koordinatları O(0,0) dır.
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.
Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.
I. Bölge: x > 0
y > 0
II. Bölge: x < 0
y > 0
III. Bölge: x < 0
y < 0
IV. Bölge: x > 0
y < 0

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

2. İki nokta arasındaki uzaklık
a. Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.
Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir.
A(a, c) ve
B(a, b) noktaları için
|AB| = |c – b|

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.
A(b, a) ve
B(c, a) noktaları için
|AB| = |c – b|

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.
A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.
AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.
Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

eşitliği ile bulunabilir.
Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.
İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.
İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsisleri
farkı ise diğer dik kenarıdır.
Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


c. Bir noktanın orijine uzaklığı
P(a,b) noktasının orijine uzaklığı


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

3.Orta Nokta Koordinatları

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.
ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır.
Buradan;
x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.
A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için,

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

eşitliği vardır.
Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.
m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse
n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir.
Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.
m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse
n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir.
5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
ABC üçgeninin köşe koordinatları
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.



Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir.
6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı
Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)
Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.
Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.

DOĞRUNUN ANALİTİGİ

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.
Doğrunun denklemi:
Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.
y = mx + n
y = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

elde edilir
x in katsayısı
Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.
eğimi verir.
Öyle ise,
ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.
2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi
a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.
Buradan

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

olduğundan

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


şeklinde de yazılabilir
b. İki noktası bilinen doğrunun denklemi

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre,

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Bu eşitlik bize iki noktası bilinen doğru denklemini verir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

şeklinde de yazılabilir. Sonuç aynıdır.
Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından
y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.
O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi
y= mx
Doğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.
Doğru denklemi ax + by = 0 olur.
3. Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


A(x1, y1) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

4. Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi
a. Eksen doğruları
Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.
y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

b. x eksenine paralel doğrular
y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

c. y eksenine paralel doğrular
x = k doğrusu;
x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


5. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi
x eksenini a noktasında y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.
Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya
y=x
·doğrusu denir.

Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.

Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya
y= -x
·doğrusu denir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


Bu forumdaki linkleri ve resimleri görebilmek için en az 25 mesajınız olması gerekir.


y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.
6. Doğruların Grafikleri
Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.
x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır

__________________